首页

科技
手机搜狐
SOHU.COM

石墨烯理论(下)

前沿石墨资讯-Mr.徐
2017-02-16
+关注

刻画拓扑序的拓扑不变量有多种等价表达方式,相对于用哈密顿量计算Berry相位,G. Volovik 提出用Green函数更方便分类拓扑物态(类比于SDW/CDW序的刻画就使用零频Green函数,因为其实际上就等于序参量)。实际上我们目前讨论的简单拓扑绝缘体以及石墨烯等系统的都是还不具有相互作用的自由费米子系统,而包含相互作用后的费米子系统的拓扑不变量再去用简单的Berry联络的陈数就不那么有效地刻画出拓扑序了,这时候用Green函数方法构造拓扑不变量却能很好地推广到相互作用系统中(乃至强关联系统)。

对于三维拓扑绝缘体的Dirac哈密顿量

Matsubara Green函数为:

为费米子Matsubara频率)

拓扑荷定义为一个对全动量空间(或Brillouin区)的积分:

对称性算符为

,经过冗长的代数运算,最后将积分解析延拓到复平面上并利用留数定理可推导得到

,当

,这就刻画了拓扑相。设定磁场

为正值,存在参数控制的从拓扑平庸相

展开剩余89%

到 非平庸相

之间的量子相变,这与

指标相同。除这两个取值外还有临界拓扑相

。对于

时的自由Dirac费米子,拓扑不变量为

,取 +1时候为正质量,-1 则为负质

量,差值为

;其物理上源于带有这两种正负质量的两个系统交界而形成束缚态。在拓扑非平庸相(

)与拓扑平庸相(

)中间存在

的无能隙相态 。在拓扑量子相变临界点,所有这些中间态都是无能隙的,其拓扑不变量如同自由Dirac费米子一样值为+1或者-1。

除了拓扑绝缘体外,反铁磁体系统也存在拓扑非平庸相(如同KT相变),这时产生的不是拓扑边缘态,而是拓扑涡旋激发态——Skyrmions(斯格明子):

此图为动量空间中斯格明子的位形分布。人们利用上面进一步从推迟Green函数出发推导定义的拓扑荷(又称为skyrmion缠绕数)来表征其拓扑性:

可证明其变分为零,因此是受拓扑保护的:

积分在三维动量空间

,单粒子Green函数

,对于斯格明子场位形分布可得

可证明对于低能带系统,

与Berry规范场表达的第一陈数

一致:

对于石墨烯的

Bloch矢哈密顿量

此即为二能级系统第一陈数。

石墨烯中的分数量子Hall效应及演生规范场

石墨烯系统除了能产生整数量子Hall效应外,还可以在一定条件下产生分数量子Hall效应,与

二维电子系统不同的是,这里石墨烯的谷自由度的赝自旋起着相当于电子自旋的重要的作用。FQH系统是典型的加强磁场的强关联电子系统,明显破坏时间反演对称。张首晟等人的工作指出FQH液体中会产生分数化电荷准粒子激发,并演生出一种

Chern-Simons规范场。在石墨烯系统中人们通过参数调制做到不破坏时间反演对称也可以使得分数化成为可能,从而形成复合费米子并同样地演生出规范场。

Hou, Chamon和Mudry受到3+1维Dirac方程可产生宇一维线状的宙弦拓扑缺陷的启发,在讨论2+1维的石墨烯时提出了2+1维Dirac方程能产生拓扑激发的模型(HCM模型)。他们的模型中可以产生一种

分数化任意子(后面知道是一种零能态涡旋的拓扑缺陷或激发)从而能使得具有

对称性的二维平面系统实现FQH。

首先将石墨烯分解成两个三角形子晶格A,B

一如开始对单层石墨烯的操作,在紧束缚近似下的哈密顿量为

晶格无扭曲形变时

,格点表象下的哈密顿量在动量表象中可对角化

,单粒子能谱为

在Dirac点附近有

,能谱为

他们进一步在石墨烯系统中引入某种类似p波超导的配对机制使得不同Dirac点的跃迁振幅混合(在石墨烯里面的物理图像就是不同简并谷的赝自旋间的配对),这时有

。这里面

代表着复序参量的涨落场,关联长度远大于晶格常数

从而体系打开能隙

,;如同超导的平均场理论,这里序参量也可通过Wick定理用配对关联函数表达 :

众多格点的跃迁振幅两两配对混合形成一种位形空间图案,用向量场刻画则其中方向由相位因子

决定

,格点间不同的配对模式会产生不同的方向图案。——通过相位因子来刻画。这种二维系统的拓扑缺陷的激发意味着会发生拓扑相变(类似于二维XY模型发生KT相变)。

HCM模型中的产生的Nielsen-Olesen–Landau-Ginsburg-Abrikosov (NO-LGA)涡旋是通过复标量场来描述 。而实际上

规范场也可以产生有限能量的NO-LGA涡旋(

涡旋),这就为实现FQH提供了更现实的方案(加磁场)。R.Jackiw和S.Y.Pi进一步引入了一个相关作用到Dirac费米子上的内禀手征规范势

,这里将对A,B子晶格Brillouin区的四个简并自由度合起来用四分量旋量表象。引入Weyl表象下 4 × 4 Dirac矩阵

),

是四分量Driac旋量,且在引入了

来构造内禀手征规范场。

并定义

,故有

扩充了系统的对称性而使得系统在局域

规范变换下不变:

尽管在一般的2+1维的石墨烯系统中,只需要2×2的Pauli矩阵便可完备描述,在四分量旋量表象下最多只需要

。而我们会意识到其实

在这种拓扑非平庸的系统中是由手征规范场来演生出来的。

接下来更简练地写出石墨烯正六边形晶格中费米子的低能Dirac拉格朗日量

质量项

来自于手征规范场打开能隙产生。

Hou等人发现石墨烯晶格中可以产生

拓扑缺陷:一个绑着

分数电荷的涡旋。这种分数荷的产生是源于系统Dirac方程的非配对零模解。我们这里利用“同位旋”的位形空间图像可以不去讨论零能解:Dirac费米子在非平庸背景下的长程表现可以构造出这样的涡旋结构。并且可以通过计算Berry相位证明这种晶格上带有规范磁通或统计相位

的任意子是遵守时间反映对称性的。操作办法是我们绝热地引入涡旋结构,即从

开始逐渐调节序参量。在拉格朗日量中加入

-质量项

扩充质量的参数空间,组成六角形晶格的两套相互交错的子晶格上费米子的本点能符号相反

。这意味着序参量的对称性从

扩张到

,序参量空间中的矢量为

,模为

;绝热地产生涡旋

的过程是将序参量

从初始均匀的“向上”或“向下”状态变到

方向且在远离涡旋中心的地方变平为均匀平面

。图所示为2+1维时空的

处穿过涡旋核芯的截面,箭头即为

方向。

从图中可以看到产生半子(meron)结构,是半个斯格明子(skrymion),涡旋核心指向

(*铁磁体等自旋系统中可产生一种拓扑性元激发——斯格明子(Skyrmion):斯格明子内部自旋电子指向不同的方向,具有微型磁场,环绕着原子结构)。当然,在离散格点系统中我们可以取核芯尺度为零的极限,这样就恢复为

涡旋结构;而一般在连续介质中则中会存在一单点处

,即涡旋

的奇点。

通过前面描述那样光滑地引入涡旋,我们可以通过涡旋结构出发,进而通过逐圈微扰展开来计算费米子流算符求出这个绝热过程中规范荷的累积。计算在手征复标量场

的微扰(设图中顶部的背景场为

方向)下的费米子流

,作单圈近似,其中一个正规自能图如下(圈线为费米子传播子

可得到

,加上其他自能图得到可得到总流

该流表达式反映了系统的对称性,它就是

非线性

模型的拓扑守恒流。

为了计算图中半子结构中心的规范荷,将

代入上式得到

,总荷为

半子中心附近区域的位形为

的涡量,在位形空间中积分可得

。这时荷为

意味着着产生的两种涡半旋

(注意这种分数化半涡旋零能束缚态并不是拓扑超导中的Majorana束缚态),也即代表着Dirac方程零能态是否占据着电子的态。

在半子涡旋核尺度区域无穷小

,

的极限下,规范流为

,这些结果可推广到多个涡旋的情形。

加入一般规范场后低能效拉格朗日量可以进一步写为协变形式:

其中

,

分别为与荷电费米子流

以及轴向费米子流

的最小耦合的

规范场以及轴矢手征规范场。由于规范不变,规范场变换后

,从Dirac哈密顿量可得到费米子与手征规范场的耦合项

,其中

是手征费米子分量,规范变化下有

。现在对波函数作一个奇异规范变换:

,这里将涡旋相位分解为正负频分量

相移后成为新的规范场:

拉格朗日量变为:

这么一来,原本带有扭曲相位的质量项就退化为单纯数量值,拉格朗日量写成更biao标准的规范场耦合形式,方便用我们的场论知识来解决问题。规范场、费米子场具有这些对称性:宇称

;电荷共轭

;时间反演

以及一个幺正变换下

哈密顿量具有反对称性。

通过以上分析,我们可以确定规范场

的低能有效作用量是什么样的拓扑项:单纯的

CS项

不具有宇称和时间反演对称性。于是人们构造了混合CS项

满足系统所有对称性,这种CS规范结构为双重规范结构

。则CS作用量应为为

,费米子流

为了看到系统有效规范场部分的拉格朗日量,需要积掉Dirac费米子场

,这里将规范场都合起来写为

作Fourier变换到动量表象为

作WKB展开计算有效作用量

树图贡献为零

计算到单圈阶修正

在低能时保持Lorentz对称以及局域

不变的要求下对

展开Green函数取到线性项代入进行计算,得到有效拉格朗日量为

第一项描述的是Dirac介质中介电响应。若没有轴手征规范场

,第二项

退化为

,它反映了涡旋场涨落导致空间位形变化以及涡旋间的对数长程作用;若轴手征规范场存在,并且由Maxwell方程描述,则涡旋间长程作用受到屏蔽变成指数衰减型,如同II型超导体。第三项则是演生出现的

Chern-Simons规范项。

可以同时是

场的质量项,在不同的序参量情况中调节

,总可找到一种相态使得这时系统的

场保持有质量而

场软化,可见电性流与轴矢流反向。这种相态将是一种超导相。

我们看到在石墨烯中产生了拓扑性激发,它们是任意子,其统计规律也是分数化的。现在我们撤去所有外场

,令

,CS拉格朗日量为

考察两个分别处于

的半涡旋,让第二个绕第一个沿着路径

转。

把这两个非局域半涡旋视为一个完整涡旋的正负分解

是第k个涡旋的流表达式。涡旋相互间相互缠绕累计的拓扑相位

可通过对CS项积分求得

可见这种半涡旋拓扑缺陷就是遵循统计角为

的交换统计任意子(半子)。

本文由 Phantom_Ghost授权( 果壳网)发表,文章著作权为原作者所有。

帅哥为什么要拒绝美女的微信?

声明:本文由入驻搜狐号作者撰写,除搜狐官方账号外,观点仅代表作者本人,不代表搜狐立场。

网站地图

用户反馈 合作
Copyright © 2018 Sohu.com