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石墨烯理论(下)

刻画拓扑序的拓扑不变量有多种等价表达方式,相对于用哈密顿量计算Berry相位,G.Volovik提出用Green函数更方便分类拓扑物态(类比于SDW/CDW序的刻画就使用零频Green函数,因为其实际上就等于序参量)。实际上我们目前讨论的简单拓扑绝缘体以及石墨烯等系统的都是还不具有相互作用的自由费米子系统,而包含相互作用后的费米子系统的拓扑不变量再去用简单的Berry联络的陈数就不那么有效地刻画出拓扑序了,这时候用Green函数方法构造拓扑不变量却能很好地推广到相互作用系统中(乃至强关联系统)。

对于三维拓扑绝缘体的Dirac哈密顿量

Matsubara Green函数为:

为费米子Matsubara频率)

拓扑荷定义为一个对全动量空间(或Brillouin区)的积分:

对称性算符为

,经过冗长的代数运算,最后将积分解析延拓到复平面上并利用留数定理可推导得到

,当

,这就刻画了拓扑相。设定磁场

为正值,存在参数控制的从拓扑平庸相

到 非平庸相

之间的量子相变,这与

指标相同。除这两个取值外还有临界拓扑相

。对于

时的自由Dirac费米子,拓扑不变量为

,取 +1时候为正质量,-1 则为负质

量,差值为

;其物理上源于带有这两种正负质量的两个系统交界而形成束缚态。在拓扑非平庸相(

)与拓扑平庸相(

)中间存在

的无能隙相态 。在拓扑量子相变临界点,所有这些中间态都是无能隙的,其拓扑不变量如同自由Dirac费米子一样值为+1或者-1。

除了拓扑绝缘体外,反铁磁体系统也存在拓扑非平庸相(如同KT相变),这时产生的不是拓扑边缘态,而是拓扑涡旋激发态——Skyrmions(斯格明子):

此图为动量空间中斯格明子的位形分布。人们利用上面进一步从推迟Green函数出发推导定义的拓扑荷(又称为skyrmion缠绕数)来表征其拓扑性:

可证明其变分为零,因此是受拓扑保护的:

积分在三维动量空间

,单粒子Green函数

,对于斯格明子场位形分布可得

可证明对于低能带系统,

与Berry规范场表达的第一陈数

一致:

对于石墨烯的

Bloch矢哈密顿量

此即为二能级系统第一陈数。

石墨烯中的分数量子Hall效应及演生规范场

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